Análise de sistemas discretos em ciclo fechado

Estabilidade em Z – Lugar de raízes

 

Comecemos por relembrar as vantagens de aplicar malha fechada....

 

A análise de estabilidade de sistemas discretos pode ser realizada utilizando os seguintes métodos:

·         Regras iguais às dos sistemas contínuos

·         Fronteira de estabilidade é a circunferência unitária

 

A fig. 4.15 apresenta um esquema de um sistema de controlo digital. Consideremos que a lei de controlo é dada por:

                                   uk= f(ek, ek-1 , ..., ek-m, uk-1, ..., uk-r)

 

em que m e r - definem a natureza e tipo de algoritmo.

 


Se f é linear, então, o sistema controlado é representável em Z.

 

Fig.4.15 Sistema de controlo digital

 

A função transferência impulsional em malha aberta e malha fechada pode ser representada, respectivamente :

                       

 


 

 


 

Equação característica em malha fechada :

 

A equação característica obtém-se igualando a zero o denominador da função de transferência em malha fechada:

                                   1+D(z)G(z) = 0

 

A solução é:       (z-p1)(z- p2)...(z- pn) = 0           

 

em que             pi - pólos

 

Se existir um valor para o qual |pi| > 1 , o sistema em malha fechada é instável (possui 1 ou mais li fora do círculo unitário).

 


Na fig. 4.16 está representado o projecto de localização de pólos no plano Z

Fig. 4.16 Projecto no plano Z

 

 

Equação característica de 2ª ordem :

 

A equação característica de 2ª ordem, representada por

 

s2 + 2 zwns + wn2 = 0

 

tem os seguintes pólos:

           

                       

 Fazendo z= esT (si - pólo em s, zi - pólo em z = esiT) vem :


 ou                    


           

com : R = e-wnT  e    q= wnT

 

Na fig. 4.17 apresenta-se o papel para traçado gráfico dos pólos no plano.

Fig. 4.17 Traçado gráfico

 

 

Mapeamento de s em z

 

Se s=a+jw então

 

                                   z=eTs=eT(a+jw)=eTa eTjw= eTa ej(Tw+2kp)=R eja

 

 

Em S    se a < 0 o sistema é estável

 

Em Z    eT(-a+jw)=e-Ta eTjw=R eja     R < 1 então

 

 

                                   |z| < 1   O sistema é estável

 

Nas figuras 4.18 e 4.19 apresentam-se o traçado gráfico das respostas consoante a localização dos pólos da respectiva equação característica no plano Z.

 

Fig. 4.18 Traçado gráfico, I, de respostas consoante a localização de pólos da equação características

 

Fig. 4.19 Traçado gráfico, II, de respostas consoante a localização de pólos da equação características

 

 

Lugar de Raízes

 

O Lugar de Raízes é um método pelo qual as raízes da equação característica são colocadas no gráfico Im-Re para todos os valores de um parâmetro do sistema, ganho proporcional.

 

Considerar a FT do sistema G(z) e a FT do controlador Gc(z)=K representadas na fig. 4.20.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 4.20 Diagrama de blocos de um sistema em malha fechada com um controlador P.

 

As regras a seguir são: