2.2.4.2. Análise em frequência

 

Os métodos de  resposta em frequência podem ser menos intuitivos que outros métodos contudo, tem certas vantagens, especialmente em situações da vida real, tais como modelização de funções de transferência a partir de dados físicos. No âmbito das cadeiras de Controlo Automático (I e II), Controlo Digital e Controlo de Processos, o método usado para fazer a análise em frequência foi o diagrama de Bode.

A resposta em frequência é a representação da resposta do sistema a entradas sinusoidais a frequências variáveis. A saída de um sistema linear a uma sinusoidal na entrada é uma sinusóide com a mesma frequência, mas com fase e magnitude diferentes. A resposta em frequência é assim definida como as diferenças de fase e magnitude entre os sinais de entrada e saída.

Para representar a resposta em frequência, cria-se um vector de frequências (variando entre 0 (ou o valor DC) e infinito), e calcula-se o valor do sistema para essas frequências. Se G(s)  (com s=jw), representar a resposta em malha aberta de um sistema Erro! A origem da referência não foi encontrada. e w a frequência, o gráfico de G(jw) vs. w dá-nos o diagrama de Bode que é a representação da fase e da magnitude Erro! A origem da referência não foi encontrada..

 

Fig 2. 1. Diagrama de blocos do sistema em malha aberta. A função de transferência é dada por: G(s)= KcGv(s)Gp(s)Gm(s)

 

Fig 2. 2. Diagrama de Bode

 

 

O decibel está definido por 20*log10(|G(j*w)|)

 

Em Matlab a instrução para o diagrama de Bode é ‘bode(num,den)’ com num=[polinómio em s] e den=[polinómio em s], sendo respectivamente o numerador e o denominador da função de transferência.

>>bode(num,den)

 

 

Margem de ganho e Margem de fase

 

Segundo o critério de estabilidade de Bode um sistema de controlo por realimentação negativa é instável se o ganho da FT em malha aberta é superior a 1 à frequência crítica wc. A frequência crítica (ou de corte), é a frequência para a qual fase da FT do sistema em malha aberta é de   -180º (-p).  Este critério permite, facilmente, sintonizar controladores.

Fig 2. 3. Sistema em malha fechada

 

Margem de ganho

A FT em malha fechada é:

eq. 2. 1

 

ÐGma(jw)= pÞG(jwc)Gm(jwc)= |G(jwc)Gm(jwc)÷

 

eq. 2. 2

 

Então:

 

eq. 2. 3

 

Então a esta frequência tem-se realimentação negativa

                                    Sistema estável ® Ganho da FT < 0

 

Então a esta frequência tem-se realimentação positiva

                                    Sistema instável ® Ganho da FT > 1

 

Sabendo isto, é fácil concluir que quanto menor çG(jwc)Gm(jwc)÷, maior a estabilidade do sistema, portanto, define-se margem de ganho à frequência crítica como:

 

eq. 2. 4

 

Daqui é fácil de concluir que quanto maior a margem de ganho, maior a estabilidade do sistema, ou seja:

               çG(jwc)Gm(jwc)÷ < 1 ou MG > 1

 

Como já foi dito, este é o valor crítico para o qual o sistema é estável. Para MG = 1 o sistema é marginalmente estável. Como regra prática, usa-se MG > 1.7

 

 

Margem de fase

 

Comecemos com uma pergunta simples: O sistema é estável à frequência para a qual çG(jwc)Gm(jwc)÷=1?

 

Para

 

eq. 2. 5

 

Analogamente ao obtido anteriormente para a margem de ganho, obtêm-se:

eq. 2. 6

 

Para  vem que

Ou seja, o sistema é instável à frequência w*.

 

Portanto, deve-se evitar que a frequência w* para a qual çG(jw*)Gm(jw*)÷=1, a fase ÐG(jw*)Gm(jw*)=-180º.

 

Define-se assim, margem de fase como:

MF = 180º - |f|

eq. 2. 7

 

 

 

É fácil perceber que quanto maior a margem de fase, maior o factor de segurança. Os valores típicos para margem fase estão entre 30º e 45º.

 

 

Resumindo, a margem de ganho é definida como a mudança no ganho em malha aberta necessária para tornar o sistema instável. Sistemas com uma maior margem de ganho suportam maiores mudanças nos parâmetros do sistema antes de se tornarem instáveis em malha fechada.

Analogamente, a margem de fase é definida como a mudança na fase em malha aberta necessária para tornar o sistema em malha fechada instável.

A margem de fase é assim a diferença entre a curva de fase e 180º no ponto correspondente à frequência que tem um ganho de 0dB. Analogamente, a margem de ganho é a diferença entre a curva de magnitude a 0dB e a correspondente à frequência que nos dá uma fase de -180º (Fig 2. 3).

Fig 2. 4.Como calcular a margem de fase e margem de ganho. A FT  usada foi , variando o ganho do controlador (neste caso o ganho é unitário uma vez que o numerador é ‘1’) é possível variar a margem de fase e margem de ganho do sistema tornando-o estável ou instável.

 

Exemplo 2.1:

Sintonize o controlador PID para um sistema cujas FT para o elemento final de controlo, do processo e do aparelho de medida são, respectivamente ,  e .

 

O primeiro passo é obter a FT em malha aberta. A FT em malha aberta é dada pelo produto de todas as FT do sistema. Assim:

 

 

O módulo é dado por:

 

 

A fase é dada por:

  

Para ser marginalmente estável çGma(jwCR)÷=1 e ÐGma(jwCR)=-p

Assim:

      ÐGma(jwCR)=-p Û -arctg5wCR-arctg2wCR-arctg10wCR=-p obtêm-se que wCR=0,41rad/s.

 

Substituindo wCR em çGma(jwCR)÷=1, obtêm-se que KCR=12,41.

 

E agora?

 

Alternativamente, aplicando as regras de Ziegler-Nichols para malha fechada com:

      w=2pfÞf=0.06526HzÞPcr=15.38

         Kcr=12,41

 

Obtêm-se os parâmetros do controlador:

Kp=12.41*0.6=7.45

τi=15.38/2=7.68

τd=15.38*0.125=1.92

 

É  notar que os valores das margens de ganho e de fase são os valores mínimos para que o sistema não se torne instável. Como regra prática, deve-se definir a margem de ganho com um valor maior que 1.7 e margem de fase entre 30º e 45º.

 

Fig 2. 5. Margem de ganho e fase calculados com os valores obtidos no exercício.

 

Se

 

Sendo que os termos (...) podem ser da seguinte forma:

              1. termos de 1ª ordem – (1+jwt)

              2. termos de 2ª ordem (jw)2+2xwwn+wn2

                             3. termos jw

A magnitude e o ângulo da função resposta em frequência é dado por:

              termos do numerador

              termos do denominador

 

 

Em Matlab pode-se calcular as margens de fase e ganho usando o comando ‘margin’

          >>margin(num,den)